EXAMEN SEMIFINAL 2011

1.- Sean $K_{A}$ y $K_{B}$ circunferencias del mismo radio con centros A y B, respectivamente, y tales que A está en $K_{B}$. Sea C en $K_{A}$ tal que la medida $g$ del $\angle ABC$ satisfaga 30 < g < 60. Sobre $K_{B}$ tómese el punto D (distinto de A) para el cual $\angle CBD=g$ y constrúyase la circunferencia $K_{C}$ que pasa por A y tiene centro C. De D hacia C trácese una recta hasta que toque a $K_{C}$ y sea E el punto de intersección. Probar que $\angle AEC=g$

2.- A una cena llegan 3 parejas. Se quieren sentar en una mesa redonda de manera que nadie quede junto a su pareja. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar si Adela ya tiene un lugar asignado fijo?

3.- Un rectángulo de lados enteros ABCD y área 756 se parte en 3 rectángulos de lados enteros: AFGH, FBIH y GICD como se muestra en la figura, y de manera que el área de FBIH es el triple que la de AFHG y el área de GICD es 5 veces el área de AFHG. Determinar todas las posibilidades para la longitud de AD.

4.- ¿Cuántos elementos a lo más podemos escoger dentro del conjunto {1,2,3,...,20} si no queremos que la suma de dos de los números escogidos sea múltiplo de un número al cuadrado mayor que 1?

5.- ¿De cuántas maneras es posible acomodar los números del 1 al 10 de manera que del primero al séptimo vayan creciendo, que el séptimo sea mayor que el octavo, y que del octavo al décimo vayan creciendo otra vez? (Por ejemplo, una posibilidad es 1,2,3,5,6,8,10,4,7,9)