Escalera de números (parte 1)

A ver, este problema (o más bien, "sucesión" de problemas, por que vendrá en partes...) es para olímpicos con algo de entrenamiento a sus espaldas pero, jejejeje (esa risa que conocen los que han tomado clase conmigo) creo que más de un fismatero lo terminará encontrando interesante...

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Vamos a construir una escalera de números.

Comenzamos con un peldaño formado por dos unos. Luego, mediante sumas, como indican las flechas, empezamos a formar los demás peldaños.

y después...

Antes de seguir, continúa la escalera hasta tener al menos 10 peldaños.

Luego... empezamos a hacer una fracción por cada peldaño (derecha entre izquierda):

$\frac{1}{1}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{17}{12}$, $\frac{41}{29}$...

Como calentamiento:

1. ¿Qué tendrá de particular en esa sucesión de números?
2. ¿Cómo lo podrías demostrar?

(fin parte 1)