Otro de geometría...

Me contaron que andan 'bien' en combinatoria y como no tengo problemas difíciles de teoría de números (o no los recuerdo) subiré de geometría.

Problema:
Sean A, Q y B tres puntos alineados (A-Q-B).
1.-*Encontrar un punto P tal que PQ sea bisectriz de ∠APB. Dar una justificación de la construcción.
2.-***¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos P? Dar una demostración.
3.-**¿Pasa esa recta, segmento, curva o cosa rara por Q? (Es corolario del 2, pero puede salir sin usarlo).
4.-*Si Q es punto medio de AB, ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos P? (Caso 'extremo')

De nuevo:
*Trivial-Facil.
**Medio.
***Complicado.

Más problemas vacacionales...

*Sean A, B, C y D cuatro puntos en el espacio, de tal manera que la distancia entre cada par es una constante k. Sean M y N puntos medios de AB y AC, respectivamente; y L∊AD. Por demostrar que el △LMN es isósceles.

*Demostrar que, en cualquier triángulo, el producto de los dos segmentos en que es dividida una altura por el ortocentro, es el mismo para las otras 2 alturas.

**Tenemos un △ABC, sea H su ortocentro y L, M y N los pies de las alturas en BC, CA y AB respectivamente. Demostrar que H es incentro del △LMN.

**a) Probar que podemos inscribir una circunferencia tangente a los lados de un cuadrilátero convexo (un cuadrilátero es convexo si para cualesquiera 2 puntos dentro de su área, el segmento que los une también está dentro) ⇔ la suma de dos lados opuestos del cuadrilátero es la misma a la suma de los otros 2 lados.
***b) Probar que las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares.

*Trivial
**Medio
***Algo dificil.

¿De vacaciones?

Tercias pitagóricas: Elaboren un procedimiento para generar tercias de números naturales a, b, c; de tal manera que a²+b²=c² y que (a,b,c)=1

H es el ortocentro del △ABC. La altura por A corta a BC en D y al circuncírculo en K. Por demostrar que HD=DK.

En una fiesta hay n invitados, de tal manera que cualquier invitado puede tener o no amigos en la fiesta. Demostrar que al menos 2 invitados tienen el mismo número de amigos en la fiesta.

Problemas

Bueno van tres problemas pa que se diviertan:

Tero no sabe cuántos olímpicos había cuando él era olímpico, pero sabe que, sin contarlo a él había 924 formas de dividirlos en dos equipos del mismo tamaño. ¿Puedes decirle a Tero cuántos compañeros tenía?

En un estanque hay muchas piedras acomodadas (en fila y en orden) de tal forma que cada una tiene un número entero pintado en ella. Si una rana se para en alguna de las piedras, de un solo salto puede brincar solamente a alguna de las piedras consecutivas (a la derecha o a la izquierda). Ana la rana está parada en la piedra marcada con el 0 ¿De cuántas formas puede llegar a la piedra marcada con el número n en exactamente k saltos?

Si tenemos n rectas en el plano en posición general (no 3 concurrentes y no dos paralelas) ¿En cuántas regiones se divide al plano?

Saludos.

PROBLEMA 06/JUN/2011

Sean A, B, C los vértices de un triángulo. Sean P y Q los puntos tal que ABP y ACQ son triángulos equiláteros y están construidos al exterior del triángulo ABC. Mostrar que los triángulos PAC y BAQ son congruentes.

HOLA CHAVOS

Hola. A todos los chavos que pasaron a la etapa final de Michoacán de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, muchas felicidades, es un honor poder contar siempre con personas como ustedes que den su esfuerzo por conseguir sus metas, y los invito a que sigan adelante, sólo ustedes pueden decidir hasta donde llegar. Enhorabuena!

Por otro lado, aprovecho para decirles ¡BIEVENIDOS AL BLOG! Éste es el primer año que se cuenta con éste medio de trabajo para la Olimpiada en Michoacán, me gustaría que lo aprovecharan, ya que al final de cuentas, será en su beneficio el que se preparen, para que puedan formar parte de la Selección Estatal. Constántemente vamos a estar subiendo problemas para que trabajen, y nos gustaría que comentaran sus soluciones. A dar el FUA chavos, nuevamente felicidades, y mucha suerte.

Los que ya tengan su g-mail activado y ya estén enterados del blog, pongan un comentario en este post, que almenos diga su nombre, para saber de quien es cada cuenta. Saludos

Aquí dejo un problemita:
Para una sucesión a1, a2, a3, ... , an-1, an; si tenemos que ai+1-ai=r (para 1≤i≤n-1); entonces a1+a2 +a3+...+an-1+an=(a1 + an)n / 2.
Sugerencia: ¡Inducción!

¡Estudien, están de vacaciones!
Suerte.