1.- Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $$3\cdot 2^a+1=b^2$$.
2.- El número $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\cdots +\sqrt{1+\frac{1}{2005^2}+\frac{1}{2006^2}}$ es un número que se puede escribir como $\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ enteros primos relativos. Encuentra $p$ y $q$.
3.- Determina todos los enteros positivos $a<b<c<d$ tales que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ sea un entero.
4.- Dado un entero positivo $n$, sea $f(n)$ el promedio de todos sus divisores positivos. Demuestra que: $\sqrt{n}\leq f(n) \leq \frac{n+1}{2}$.
5.- Si $p$ y $q$ son primos y $x^2-px+q=0$ tiene distintas raíces enteras positivas, encuentra $p$ y $q$.
6.- Sean $a,b,c$ números reales tales que $a\neq b$ y $a^2(b+c)=b^2(a+c)=2011$. Determina el valor de $c^2(a+b)$.
7.- Prueba que si una progresión aritmética de enteros contiene un cuadrado perfecto, entonces contiene una infinidad de cuadrados perfectos.
8.- Encuentra una lista infinita de números enteros positivos $n$ tales que la suma de los dígitos de $n$ sea igual a la suma de dígitos de $3n+11$.
9.- Demuestra que si $n$ es la suma de dos cuadrados, entonces $2n$ también lo es.
10.- Demuestra que $5(x-y)(y-z)(z-x)$ divide a $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$
11.- Muestra que hay una infinidad de soluciones enteras positivas para $(x^2+x+1)(y^2+y+1)=z^2+z+1$
12.- Prueba que si $n=a^2+b^2+c^2$, entonces $\exist x,y,z$ tales que $n^2=x^2+y^2+z^2$.
13.- Muestra que existe una infinidad de soluciones enteras para $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$.
14.- Sean $a,b,c$ números positivos. Encuentra los valores de x tales que: $\sqrt{a+bx}+\sqrt{b+cx}+\sqrt{c+ax}=\sqrt{b-ax}+\sqrt{c-bx}+\sqrt{a-cx}$
15.- Encuentra el término general de la sucesión definida como $x_0=3, x_1=4$ y $\forall n\geq 1$ se tiene $x_{n+1}=x_{n-1}^2-nx_n$.
16.- Sean $a,b,c$ números reales tales que: $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$. Demuestra que $|abc|=1$.
17.- Encuentra todos los valores reales de $x$ tales que $\frac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\frac{7}{6}$.
domingo, 16 de septiembre de 2012
sábado, 8 de septiembre de 2012
TAREA DESIGUALDADES
Aquí les van unos problemas para que practiquen desigualdades:
1) Sean $x,y,z \in \mathbb{R}^+$. Demuestra las siguientes desigualdades:
$$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$$
$$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$$
$$xy+yz+zx\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}$$
$$x^2+y^2+1\geq xy+x+y$$
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}$$
$$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\geq x+y+z$$
$$x^2+y^2+z^2\geq x\sqrt{y^2+z^2}+y\sqrt{x^2+z^2}$$
$$x^4+y^4+8\geq 8xy$$
2) Sea $n$ un número natural. Sean $x_1, x_2, \dots , x_n \in \mathbb{R}^+$. Muestra que:
$$(x_1+x_2+\cdots +x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n})\geq n^2$$
3) Sea $n$ un número natural. Sean $x_1, x_2, \dots , x_n \in \mathbb{R}^+$ y $\{y_1,y_2,\dots ,y_n\}$ una permutación de las $x_{i's}$. Muestra que:
$$\frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}+\cdots +\frac{x_n}{y_n}\geq n$$
4) Sean $a,b,c>0$. Muestra que:
Si $(1+a)(1+b)(1+c)=8$ entonces $abc\leq 1$.
$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca$
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)$
$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 9a^2b^2c^2$
lunes, 3 de septiembre de 2012
TAREA VACACIONAL
Aquí les pongo otros problemas, espero y los resuelvan todos.
1) Demuestra que no existen soluciones enteras positivas para $$\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{1}{t}+\frac{1}{qr}$$ con $q,r$ primos.
2) Determina los enteros $n$ para los cuales $\sum_{i=1}^{n}i | \Pi_{i=1}^n i$.
3) Prueba que $n(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots +n^k)$ para toda $k$ impar.
4) Sean $a,b\in \mathbb{N}$ tales que $(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a})\in \mathbb{N}$. Sea $d=(a,b)$. Muestre que $d^2\leq a+b$.
5) Demuestra que $\forall n>1$, $n^4+4$ nunca es primo.
6) Prueba que no existe polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros tales que $f(7)=11$ y $f(11)=13$.
7) Muestra que si $n$ es compuesto, entonces $2^n-1$ no es primo.
8) Muestra que si $n$ tiene algún divisor impar mayor a 1, entonces $2^n+1$ no es primo.
9) Encuentra todas las parejas de primos tales que $p^2-2q^2=1$
10) Muestra que si $p$ es primo y $p^2+2$ es primo, entonces $p^3+2$ es primo.
11) Encuentra las soluciones enteras de:
$$a)x^2+y^2=x^2y^2$$
$$b)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$$
$$c)x^2-3y^2=17$$
$$d)2xy+3y^2=24$$
$$e)x^2+xy+y^2=x^2y^2$$
$$f)x+y=x^2-xy+y^2$$
12) Sea $p=p_1p_2\dots p_n$ el producto de los primeros $n$ primos. Muestra que $p-1$ y $p+1$ no son cuadrados.
13) Muestra que todo número par puede ser escrito como $(x+y)^2+3x+y$, con $x$ y $y$ enteros no negativos
14) Muestra que si $m|(m-1)!+1$, entonces $m$ es primo.
15) Probar que $17|2n+3m\Leftrightarrow 17|9n+5m$
16) Encontrar todos los primos $p$ para los cuales $p^2+77$ tiene exactamente 5 divisores.
17) Muestra que no existen cuartetos de enteros positivos $(x,y,z,w)$ que satisfagan: $x^2+y^2=3(z^2+w^2)$
18) Muestra que si ninguno de los números $a, a+d, \dots , a+(n-1)d$ es divisible por n, entonces n y d son coprimos.
19) Demuestra que todo entero que no es múltiplo de 2 ni de 5, tiene un múltiplo con todos sus dígitos iguales a 1.
20) Sea $n \in \mathbb{N}$. Probar que la sucesión de Fibonacci tiene una infinidad de términos divisibles por $n$.
Cualquier cosa me pueden dejar un mensaje en el Facebook.
1) Demuestra que no existen soluciones enteras positivas para $$\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{1}{t}+\frac{1}{qr}$$ con $q,r$ primos.
2) Determina los enteros $n$ para los cuales $\sum_{i=1}^{n}i | \Pi_{i=1}^n i$.
3) Prueba que $n(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots +n^k)$ para toda $k$ impar.
4) Sean $a,b\in \mathbb{N}$ tales que $(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a})\in \mathbb{N}$. Sea $d=(a,b)$. Muestre que $d^2\leq a+b$.
5) Demuestra que $\forall n>1$, $n^4+4$ nunca es primo.
6) Prueba que no existe polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros tales que $f(7)=11$ y $f(11)=13$.
7) Muestra que si $n$ es compuesto, entonces $2^n-1$ no es primo.
8) Muestra que si $n$ tiene algún divisor impar mayor a 1, entonces $2^n+1$ no es primo.
9) Encuentra todas las parejas de primos tales que $p^2-2q^2=1$
10) Muestra que si $p$ es primo y $p^2+2$ es primo, entonces $p^3+2$ es primo.
11) Encuentra las soluciones enteras de:
$$a)x^2+y^2=x^2y^2$$
$$b)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$$
$$c)x^2-3y^2=17$$
$$d)2xy+3y^2=24$$
$$e)x^2+xy+y^2=x^2y^2$$
$$f)x+y=x^2-xy+y^2$$
12) Sea $p=p_1p_2\dots p_n$ el producto de los primeros $n$ primos. Muestra que $p-1$ y $p+1$ no son cuadrados.
13) Muestra que todo número par puede ser escrito como $(x+y)^2+3x+y$, con $x$ y $y$ enteros no negativos
14) Muestra que si $m|(m-1)!+1$, entonces $m$ es primo.
15) Probar que $17|2n+3m\Leftrightarrow 17|9n+5m$
16) Encontrar todos los primos $p$ para los cuales $p^2+77$ tiene exactamente 5 divisores.
17) Muestra que no existen cuartetos de enteros positivos $(x,y,z,w)$ que satisfagan: $x^2+y^2=3(z^2+w^2)$
18) Muestra que si ninguno de los números $a, a+d, \dots , a+(n-1)d$ es divisible por n, entonces n y d son coprimos.
19) Demuestra que todo entero que no es múltiplo de 2 ni de 5, tiene un múltiplo con todos sus dígitos iguales a 1.
20) Sea $n \in \mathbb{N}$. Probar que la sucesión de Fibonacci tiene una infinidad de términos divisibles por $n$.
Cualquier cosa me pueden dejar un mensaje en el Facebook.
PROBLEMAS CLASE
Hola chavos, los siguientes problemas son los que tenía previstos para la clase, pero no alcanzamos a resolver:
1.- Pruebe que el número de cuatro dígitos $N=\overline{abcd}$ es divisible entre 3 $\Leftrightarrow$ $a-2b+c+4d$ es divisible entre 3.
2.- Sean $a$ y $b$ enteros tales que $a+5b$ y $5a-b$ son ambos múltiplos de 2002. Demuestre que $a^2+b^2$ también es múltiplo de 2002.
3.- Sea $p$ un número primo y sean $a,n \in \mathbb{N}$. Demuestra que si $2^p+3^p=a^n$, entonces $n=1$.
4.- ¿Es posible agrupar los números ${1,2,\dots ,100}$ en tres grupos, $A_1,A_2,A_3$, tales que $102$ divida a la suma de elementos de $A_1$; $203$ divida a la suma de elementos de $A_2$; y $304$ divida a la suma de elementos de $A_3$?
5.- Demuestra que si $(a,n)=1$ y $(b,n)=1$, $\exists t\in\mathbb{N}$ tal que $a^t\equiv b^t(mod n)$.
6.- Determina si existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a^4+1$ y $b^2+1$ no son divisbles entre $39$, pero $(a^4+1)(b^2+1)$ es divisible entre $39$.
1.- Pruebe que el número de cuatro dígitos $N=\overline{abcd}$ es divisible entre 3 $\Leftrightarrow$ $a-2b+c+4d$ es divisible entre 3.
2.- Sean $a$ y $b$ enteros tales que $a+5b$ y $5a-b$ son ambos múltiplos de 2002. Demuestre que $a^2+b^2$ también es múltiplo de 2002.
3.- Sea $p$ un número primo y sean $a,n \in \mathbb{N}$. Demuestra que si $2^p+3^p=a^n$, entonces $n=1$.
4.- ¿Es posible agrupar los números ${1,2,\dots ,100}$ en tres grupos, $A_1,A_2,A_3$, tales que $102$ divida a la suma de elementos de $A_1$; $203$ divida a la suma de elementos de $A_2$; y $304$ divida a la suma de elementos de $A_3$?
5.- Demuestra que si $(a,n)=1$ y $(b,n)=1$, $\exists t\in\mathbb{N}$ tal que $a^t\equiv b^t(mod n)$.
6.- Determina si existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a^4+1$ y $b^2+1$ no son divisbles entre $39$, pero $(a^4+1)(b^2+1)$ es divisible entre $39$.
miércoles, 1 de agosto de 2012
Hola chavos, ojalá y algunos revisen el blog... hasta ahora pude escribir porque mi computadora está descompuesta, pero aquí les dejo algunos problemas (no dejo la lista que les había dado porque está en mi computadora)...
1)Prueba que $\frac{21n+4}{14n+3}$ es irreducible para todo número natural n.
2)¿Para qué valores de x es:
$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A$
dados: a) A=$\sqrt{2}$; b) A=1; c) A=2, donde sólo los números reales no negativos son admitidos para la raíz cuadrada?
3)¿Qué valores reales de x satisfacen la desigualdad: $\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}\leq2$?
4)Si a y b son reales positivos distintos, ordena los siguientes números de menor a mayor:
$i)ab\hspace{0.2in}ii)a^{2}+b^{2}\hspace{0.2in}iii)(a+b)^{2}\hspace{0.2in}iv)a^{2}+b(a+b)\hspace{0.2in}v)\frac{a^{3}+b^{3}}{a+b}$
5)Los números x y y son distintos y satisfacen la igualdad: $x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}$. Determina el valor de xy.
6)Sean a,b,c reales positivos. Demoestrar que:
$\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{c+a}+\frac{ab}{a+b}\leq\frac{1}{2}(a+b+c)$
7)Demuestre que si n es un númerot entero positivo, entonces:
$\frac{n^{2}+n-1}{n^{2}+2n}$
es una fracción irreducible.
8)Sean $1=d_{1}<d_{2}<d_{3}<\cdots<d_{k}=n$ los divisores del entero positivo n. Encuentra todos los números n tales que $n=d_{2}^{2}+d_{3}^{3}$.
9)Sea x un número real que satisface la ecuación $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=p^{2}-2$, donde p es un número primo. Demuestra que para todo entero n, el valor de la expresión $x^{n}+\frac{1}{x^{n}}$ es un número entero y calcula su valor en función de p.
10)Determina todos los enteros positivos a y b tales que:
$\frac{b^{2}a}{a+b}$ sea un número primo.
Intenten resolver estos problemas, también los otros que ya les había dejado, ojalá hayan avanzado bastantes. Revisaremos en la clase.
1)Prueba que $\frac{21n+4}{14n+3}$ es irreducible para todo número natural n.
2)¿Para qué valores de x es:
$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A$
dados: a) A=$\sqrt{2}$; b) A=1; c) A=2, donde sólo los números reales no negativos son admitidos para la raíz cuadrada?
3)¿Qué valores reales de x satisfacen la desigualdad: $\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}\leq2$?
4)Si a y b son reales positivos distintos, ordena los siguientes números de menor a mayor:
$i)ab\hspace{0.2in}ii)a^{2}+b^{2}\hspace{0.2in}iii)(a+b)^{2}\hspace{0.2in}iv)a^{2}+b(a+b)\hspace{0.2in}v)\frac{a^{3}+b^{3}}{a+b}$
5)Los números x y y son distintos y satisfacen la igualdad: $x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}$. Determina el valor de xy.
6)Sean a,b,c reales positivos. Demoestrar que:
$\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{c+a}+\frac{ab}{a+b}\leq\frac{1}{2}(a+b+c)$
7)Demuestre que si n es un númerot entero positivo, entonces:
$\frac{n^{2}+n-1}{n^{2}+2n}$
es una fracción irreducible.
8)Sean $1=d_{1}<d_{2}<d_{3}<\cdots<d_{k}=n$ los divisores del entero positivo n. Encuentra todos los números n tales que $n=d_{2}^{2}+d_{3}^{3}$.
9)Sea x un número real que satisface la ecuación $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=p^{2}-2$, donde p es un número primo. Demuestra que para todo entero n, el valor de la expresión $x^{n}+\frac{1}{x^{n}}$ es un número entero y calcula su valor en función de p.
10)Determina todos los enteros positivos a y b tales que:
$\frac{b^{2}a}{a+b}$ sea un número primo.
Intenten resolver estos problemas, también los otros que ya les había dejado, ojalá hayan avanzado bastantes. Revisaremos en la clase.
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