TAREA DESIGUALDADES

Aquí les van unos problemas para que practiquen desigualdades:

1) Sean $x,y,z \in \mathbb{R}^+$. Demuestra las siguientes desigualdades:

$$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$$

$$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$$

$$xy+yz+zx\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}$$

$$x^2+y^2+1\geq xy+x+y$$

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}$$

$$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\geq x+y+z$$

$$x^2+y^2+z^2\geq x\sqrt{y^2+z^2}+y\sqrt{x^2+z^2}$$

$$x^4+y^4+8\geq 8xy$$

2) Sea $n$ un número natural. Sean $x_1, x_2, \dots , x_n \in \mathbb{R}^+$. Muestra que:

$$(x_1+x_2+\cdots +x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n})\geq n^2$$

3) Sea $n$ un número natural. Sean $x_1, x_2, \dots , x_n \in \mathbb{R}^+$ y $\{y_1,y_2,\dots ,y_n\}$ una permutación de las $x_{i's}$. Muestra que:

$$\frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}+\cdots +\frac{x_n}{y_n}\geq n$$

4) Sean $a,b,c>0$. Muestra que:

Si $(1+a)(1+b)(1+c)=8$ entonces $abc\leq 1$.

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca$

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)$

$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 9a^2b^2c^2$