1.- Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $$3\cdot 2^a+1=b^2$$.
2.- El número $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\cdots +\sqrt{1+\frac{1}{2005^2}+\frac{1}{2006^2}}$ es un número que se puede escribir como $\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ enteros primos relativos. Encuentra $p$ y $q$.
3.- Determina todos los enteros positivos $a<b<c<d$ tales que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ sea un entero.
4.- Dado un entero positivo $n$, sea $f(n)$ el promedio de todos sus divisores positivos. Demuestra que: $\sqrt{n}\leq f(n) \leq \frac{n+1}{2}$.
5.- Si $p$ y $q$ son primos y $x^2-px+q=0$ tiene distintas raíces enteras positivas, encuentra $p$ y $q$.
6.- Sean $a,b,c$ números reales tales que $a\neq b$ y $a^2(b+c)=b^2(a+c)=2011$. Determina el valor de $c^2(a+b)$.
7.- Prueba que si una progresión aritmética de enteros contiene un cuadrado perfecto, entonces contiene una infinidad de cuadrados perfectos.
8.- Encuentra una lista infinita de números enteros positivos $n$ tales que la suma de los dígitos de $n$ sea igual a la suma de dígitos de $3n+11$.
9.- Demuestra que si $n$ es la suma de dos cuadrados, entonces $2n$ también lo es.
10.- Demuestra que $5(x-y)(y-z)(z-x)$ divide a $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$
11.- Muestra que hay una infinidad de soluciones enteras positivas para $(x^2+x+1)(y^2+y+1)=z^2+z+1$
12.- Prueba que si $n=a^2+b^2+c^2$, entonces $\exist x,y,z$ tales que $n^2=x^2+y^2+z^2$.
13.- Muestra que existe una infinidad de soluciones enteras para $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$.
14.- Sean $a,b,c$ números positivos. Encuentra los valores de x tales que: $\sqrt{a+bx}+\sqrt{b+cx}+\sqrt{c+ax}=\sqrt{b-ax}+\sqrt{c-bx}+\sqrt{a-cx}$
15.- Encuentra el término general de la sucesión definida como $x_0=3, x_1=4$ y $\forall n\geq 1$ se tiene $x_{n+1}=x_{n-1}^2-nx_n$.
16.- Sean $a,b,c$ números reales tales que: $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$. Demuestra que $|abc|=1$.
17.- Encuentra todos los valores reales de $x$ tales que $\frac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\frac{7}{6}$.
domingo, 16 de septiembre de 2012
sábado, 8 de septiembre de 2012
TAREA DESIGUALDADES
Aquí les van unos problemas para que practiquen desigualdades:
1) Sean $x,y,z \in \mathbb{R}^+$. Demuestra las siguientes desigualdades:
$$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$$
$$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$$
$$xy+yz+zx\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}$$
$$x^2+y^2+1\geq xy+x+y$$
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}$$
$$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\geq x+y+z$$
$$x^2+y^2+z^2\geq x\sqrt{y^2+z^2}+y\sqrt{x^2+z^2}$$
$$x^4+y^4+8\geq 8xy$$
2) Sea $n$ un número natural. Sean $x_1, x_2, \dots , x_n \in \mathbb{R}^+$. Muestra que:
$$(x_1+x_2+\cdots +x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n})\geq n^2$$
3) Sea $n$ un número natural. Sean $x_1, x_2, \dots , x_n \in \mathbb{R}^+$ y $\{y_1,y_2,\dots ,y_n\}$ una permutación de las $x_{i's}$. Muestra que:
$$\frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}+\cdots +\frac{x_n}{y_n}\geq n$$
4) Sean $a,b,c>0$. Muestra que:
Si $(1+a)(1+b)(1+c)=8$ entonces $abc\leq 1$.
$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca$
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)$
$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 9a^2b^2c^2$
lunes, 3 de septiembre de 2012
TAREA VACACIONAL
Aquí les pongo otros problemas, espero y los resuelvan todos.
1) Demuestra que no existen soluciones enteras positivas para $$\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{1}{t}+\frac{1}{qr}$$ con $q,r$ primos.
2) Determina los enteros $n$ para los cuales $\sum_{i=1}^{n}i | \Pi_{i=1}^n i$.
3) Prueba que $n(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots +n^k)$ para toda $k$ impar.
4) Sean $a,b\in \mathbb{N}$ tales que $(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a})\in \mathbb{N}$. Sea $d=(a,b)$. Muestre que $d^2\leq a+b$.
5) Demuestra que $\forall n>1$, $n^4+4$ nunca es primo.
6) Prueba que no existe polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros tales que $f(7)=11$ y $f(11)=13$.
7) Muestra que si $n$ es compuesto, entonces $2^n-1$ no es primo.
8) Muestra que si $n$ tiene algún divisor impar mayor a 1, entonces $2^n+1$ no es primo.
9) Encuentra todas las parejas de primos tales que $p^2-2q^2=1$
10) Muestra que si $p$ es primo y $p^2+2$ es primo, entonces $p^3+2$ es primo.
11) Encuentra las soluciones enteras de:
$$a)x^2+y^2=x^2y^2$$
$$b)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$$
$$c)x^2-3y^2=17$$
$$d)2xy+3y^2=24$$
$$e)x^2+xy+y^2=x^2y^2$$
$$f)x+y=x^2-xy+y^2$$
12) Sea $p=p_1p_2\dots p_n$ el producto de los primeros $n$ primos. Muestra que $p-1$ y $p+1$ no son cuadrados.
13) Muestra que todo número par puede ser escrito como $(x+y)^2+3x+y$, con $x$ y $y$ enteros no negativos
14) Muestra que si $m|(m-1)!+1$, entonces $m$ es primo.
15) Probar que $17|2n+3m\Leftrightarrow 17|9n+5m$
16) Encontrar todos los primos $p$ para los cuales $p^2+77$ tiene exactamente 5 divisores.
17) Muestra que no existen cuartetos de enteros positivos $(x,y,z,w)$ que satisfagan: $x^2+y^2=3(z^2+w^2)$
18) Muestra que si ninguno de los números $a, a+d, \dots , a+(n-1)d$ es divisible por n, entonces n y d son coprimos.
19) Demuestra que todo entero que no es múltiplo de 2 ni de 5, tiene un múltiplo con todos sus dígitos iguales a 1.
20) Sea $n \in \mathbb{N}$. Probar que la sucesión de Fibonacci tiene una infinidad de términos divisibles por $n$.
Cualquier cosa me pueden dejar un mensaje en el Facebook.
1) Demuestra que no existen soluciones enteras positivas para $$\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{1}{t}+\frac{1}{qr}$$ con $q,r$ primos.
2) Determina los enteros $n$ para los cuales $\sum_{i=1}^{n}i | \Pi_{i=1}^n i$.
3) Prueba que $n(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots +n^k)$ para toda $k$ impar.
4) Sean $a,b\in \mathbb{N}$ tales que $(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a})\in \mathbb{N}$. Sea $d=(a,b)$. Muestre que $d^2\leq a+b$.
5) Demuestra que $\forall n>1$, $n^4+4$ nunca es primo.
6) Prueba que no existe polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros tales que $f(7)=11$ y $f(11)=13$.
7) Muestra que si $n$ es compuesto, entonces $2^n-1$ no es primo.
8) Muestra que si $n$ tiene algún divisor impar mayor a 1, entonces $2^n+1$ no es primo.
9) Encuentra todas las parejas de primos tales que $p^2-2q^2=1$
10) Muestra que si $p$ es primo y $p^2+2$ es primo, entonces $p^3+2$ es primo.
11) Encuentra las soluciones enteras de:
$$a)x^2+y^2=x^2y^2$$
$$b)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$$
$$c)x^2-3y^2=17$$
$$d)2xy+3y^2=24$$
$$e)x^2+xy+y^2=x^2y^2$$
$$f)x+y=x^2-xy+y^2$$
12) Sea $p=p_1p_2\dots p_n$ el producto de los primeros $n$ primos. Muestra que $p-1$ y $p+1$ no son cuadrados.
13) Muestra que todo número par puede ser escrito como $(x+y)^2+3x+y$, con $x$ y $y$ enteros no negativos
14) Muestra que si $m|(m-1)!+1$, entonces $m$ es primo.
15) Probar que $17|2n+3m\Leftrightarrow 17|9n+5m$
16) Encontrar todos los primos $p$ para los cuales $p^2+77$ tiene exactamente 5 divisores.
17) Muestra que no existen cuartetos de enteros positivos $(x,y,z,w)$ que satisfagan: $x^2+y^2=3(z^2+w^2)$
18) Muestra que si ninguno de los números $a, a+d, \dots , a+(n-1)d$ es divisible por n, entonces n y d son coprimos.
19) Demuestra que todo entero que no es múltiplo de 2 ni de 5, tiene un múltiplo con todos sus dígitos iguales a 1.
20) Sea $n \in \mathbb{N}$. Probar que la sucesión de Fibonacci tiene una infinidad de términos divisibles por $n$.
Cualquier cosa me pueden dejar un mensaje en el Facebook.
PROBLEMAS CLASE
Hola chavos, los siguientes problemas son los que tenía previstos para la clase, pero no alcanzamos a resolver:
1.- Pruebe que el número de cuatro dígitos $N=\overline{abcd}$ es divisible entre 3 $\Leftrightarrow$ $a-2b+c+4d$ es divisible entre 3.
2.- Sean $a$ y $b$ enteros tales que $a+5b$ y $5a-b$ son ambos múltiplos de 2002. Demuestre que $a^2+b^2$ también es múltiplo de 2002.
3.- Sea $p$ un número primo y sean $a,n \in \mathbb{N}$. Demuestra que si $2^p+3^p=a^n$, entonces $n=1$.
4.- ¿Es posible agrupar los números ${1,2,\dots ,100}$ en tres grupos, $A_1,A_2,A_3$, tales que $102$ divida a la suma de elementos de $A_1$; $203$ divida a la suma de elementos de $A_2$; y $304$ divida a la suma de elementos de $A_3$?
5.- Demuestra que si $(a,n)=1$ y $(b,n)=1$, $\exists t\in\mathbb{N}$ tal que $a^t\equiv b^t(mod n)$.
6.- Determina si existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a^4+1$ y $b^2+1$ no son divisbles entre $39$, pero $(a^4+1)(b^2+1)$ es divisible entre $39$.
1.- Pruebe que el número de cuatro dígitos $N=\overline{abcd}$ es divisible entre 3 $\Leftrightarrow$ $a-2b+c+4d$ es divisible entre 3.
2.- Sean $a$ y $b$ enteros tales que $a+5b$ y $5a-b$ son ambos múltiplos de 2002. Demuestre que $a^2+b^2$ también es múltiplo de 2002.
3.- Sea $p$ un número primo y sean $a,n \in \mathbb{N}$. Demuestra que si $2^p+3^p=a^n$, entonces $n=1$.
4.- ¿Es posible agrupar los números ${1,2,\dots ,100}$ en tres grupos, $A_1,A_2,A_3$, tales que $102$ divida a la suma de elementos de $A_1$; $203$ divida a la suma de elementos de $A_2$; y $304$ divida a la suma de elementos de $A_3$?
5.- Demuestra que si $(a,n)=1$ y $(b,n)=1$, $\exists t\in\mathbb{N}$ tal que $a^t\equiv b^t(mod n)$.
6.- Determina si existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a^4+1$ y $b^2+1$ no son divisbles entre $39$, pero $(a^4+1)(b^2+1)$ es divisible entre $39$.
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