Problemas fácilones con geometría analítica.

Los teoremas que pondré a continuación salen con geometría analítica. Es importante que tengan nociones de esta geometría, aunque muchas veces se generen muchísimas cuentas. Ahora bien, aunque no desarrollen, podrían solo concluir un procedimiento con el que estén seguros que se demuestran los teoremas. Y no es que dude de su capacidad por lo faciles que están, los pongo para que practiquen.

1.- Demostrar:
a) concurrencia de medianas.
b) concurrencia de mediatrices.
c) concurrencia de alturas.

2.- Demostrar que los puntos medios de los lados de cualquier trapezoide o cuadrilátero raro ''cerrado'' son vértices de un paralelogramo.

3.- Demostrar el teorema de Ptolomeo:
Sea ABCD un cuadrilátero.
☐ABCD es cíclico ⇔ AB*CD+BC*DA=AC*BD (basta con ⇒).

4.- Dados 3 puntos... encontrar la ecuación de la circunferencia circunscrita.

Nota: Exijan un día de geometría analítica pre-exámen final, puede ser útil en un futuro.

Otro de geometría...

Me contaron que andan 'bien' en combinatoria y como no tengo problemas difíciles de teoría de números (o no los recuerdo) subiré de geometría.

Problema:
Sean A, Q y B tres puntos alineados (A-Q-B).
1.-*Encontrar un punto P tal que PQ sea bisectriz de ∠APB. Dar una justificación de la construcción.
2.-***¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos P? Dar una demostración.
3.-**¿Pasa esa recta, segmento, curva o cosa rara por Q? (Es corolario del 2, pero puede salir sin usarlo).
4.-*Si Q es punto medio de AB, ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos P? (Caso 'extremo')

De nuevo:
*Trivial-Facil.
**Medio.
***Complicado.

Más problemas vacacionales...

*Sean A, B, C y D cuatro puntos en el espacio, de tal manera que la distancia entre cada par es una constante k. Sean M y N puntos medios de AB y AC, respectivamente; y L∊AD. Por demostrar que el △LMN es isósceles.

*Demostrar que, en cualquier triángulo, el producto de los dos segmentos en que es dividida una altura por el ortocentro, es el mismo para las otras 2 alturas.

**Tenemos un △ABC, sea H su ortocentro y L, M y N los pies de las alturas en BC, CA y AB respectivamente. Demostrar que H es incentro del △LMN.

**a) Probar que podemos inscribir una circunferencia tangente a los lados de un cuadrilátero convexo (un cuadrilátero es convexo si para cualesquiera 2 puntos dentro de su área, el segmento que los une también está dentro) ⇔ la suma de dos lados opuestos del cuadrilátero es la misma a la suma de los otros 2 lados.
***b) Probar que las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares.

*Trivial
**Medio
***Algo dificil.

¿De vacaciones?

Tercias pitagóricas: Elaboren un procedimiento para generar tercias de números naturales a, b, c; de tal manera que a²+b²=c² y que (a,b,c)=1

H es el ortocentro del △ABC. La altura por A corta a BC en D y al circuncírculo en K. Por demostrar que HD=DK.

En una fiesta hay n invitados, de tal manera que cualquier invitado puede tener o no amigos en la fiesta. Demostrar que al menos 2 invitados tienen el mismo número de amigos en la fiesta.

PROBLEMA 06/JUN/2011

Sean A, B, C los vértices de un triángulo. Sean P y Q los puntos tal que ABP y ACQ son triángulos equiláteros y están construidos al exterior del triángulo ABC. Mostrar que los triángulos PAC y BAQ son congruentes.