Problemas fácilones con geometría analítica.

Los teoremas que pondré a continuación salen con geometría analítica. Es importante que tengan nociones de esta geometría, aunque muchas veces se generen muchísimas cuentas. Ahora bien, aunque no desarrollen, podrían solo concluir un procedimiento con el que estén seguros que se demuestran los teoremas. Y no es que dude de su capacidad por lo faciles que están, los pongo para que practiquen.

1.- Demostrar:
a) concurrencia de medianas.
b) concurrencia de mediatrices.
c) concurrencia de alturas.

2.- Demostrar que los puntos medios de los lados de cualquier trapezoide o cuadrilátero raro ''cerrado'' son vértices de un paralelogramo.

3.- Demostrar el teorema de Ptolomeo:
Sea ABCD un cuadrilátero.
☐ABCD es cíclico ⇔ AB*CD+BC*DA=AC*BD (basta con ⇒).

4.- Dados 3 puntos... encontrar la ecuación de la circunferencia circunscrita.

Nota: Exijan un día de geometría analítica pre-exámen final, puede ser útil en un futuro.

Otros 3 de espíritu combinatorio.

Con el fin de que no se desacostumbren y aprovechando que desempolvé el librero les dejo un par de problemas bonitos. El tercero no es tan bonito, pero está bien para que practiquen y para de paso aprovechar el editor de LaTeX que encontré.

1. Sea S un conjunto de n puntos en el plano. Sea M el conjunto de puntos medios de parejas de elementos de S. Probar que M tiene al menos 2n - 3 elementos.
2. Un conjunto de personas es tal que cada uno tiene al menos un amigo dentro del conjunto y si dos personas del conjunto tienen el mismo número de amigos (dentro del conjunto), entonces esas dos personas no tienen amigos en común (dentro del conjunto). Probar que hay una persona que tiene exactamente un amigo dentro del conjunto.}
3. Probar (de preferencia de una forma bonita) las siguientes identidades:

Bueno, ojalá les salgan. Me da gusto que al menos algunos de ustedes ya los están intentando y estoy tan de buen humor que hasta les voy a dar sugerencia para el 3 de la vez pasada:

Sugerencia: Es claro que todas las fotos muestran permutaciones de las tapas, pero ¿Será cierto que muestran todas las permutaciones? Por otro lado ¿Cómo son las permutaciones que salen en las fotos de Tero? ¿Cómo las de las fotos de Héctor?

Ojalá eso sea suficiente. Aún deben el del avión y el 2 de mi primer post así que tienen mucho qué pensar en estas vacacioncitas.

Saludos y suerte ;).

3 más de combinatoria

Dicen que andan bien en combinatoria, a ver si es cierto. Van 3 problemas que deberían poder resolver:

1. ¿De cuántas formas pueden 2n olímpicos acomodarse en parejas a trabajar?
2. Los olímpicos van a Molto a comer pizza y la mesera les dice que pueden pedir pizza con 5 ingredientes (se vale repetir) de la lista de 15 ingredientes que hay en el menú ¿De cuántas formas distintas pueden pedir su pizza si no importa el orden de los ingredientes?.
3. A Tero y a Héctor les gusta tomar fotos, un día que no tienen mucho qué hacer inventan un juego. Toman n fichas de sus n tipos de cervezas favoritas (todas distintas) y las acomodan en fila. El juego consiste en lo siguiente: en cada turno uno de los jugadores toma dos fichas, intercambia sus posiciones y toma una foto. Los dos cuates juegan por un buen rato hasta que se toman todas las fotos posibles. Gana el que tenga más fotos distintas. Si Héctor empieza, ¿Quién gana? ¿Puedes decir cuántas fotos distintas tiene cada jugador?

Bueno, a ver cómo les va con esos 3 (¿Alguien tiene el 2 de los que publiqué la vez pasada? )

Saludos.