Otros 3 de espíritu combinatorio.

Con el fin de que no se desacostumbren y aprovechando que desempolvé el librero les dejo un par de problemas bonitos. El tercero no es tan bonito, pero está bien para que practiquen y para de paso aprovechar el editor de LaTeX que encontré.

1. Sea S un conjunto de n puntos en el plano. Sea M el conjunto de puntos medios de parejas de elementos de S. Probar que M tiene al menos 2n - 3 elementos.
2. Un conjunto de personas es tal que cada uno tiene al menos un amigo dentro del conjunto y si dos personas del conjunto tienen el mismo número de amigos (dentro del conjunto), entonces esas dos personas no tienen amigos en común (dentro del conjunto). Probar que hay una persona que tiene exactamente un amigo dentro del conjunto.}
3. Probar (de preferencia de una forma bonita) las siguientes identidades:

Bueno, ojalá les salgan. Me da gusto que al menos algunos de ustedes ya los están intentando y estoy tan de buen humor que hasta les voy a dar sugerencia para el 3 de la vez pasada:

Sugerencia: Es claro que todas las fotos muestran permutaciones de las tapas, pero ¿Será cierto que muestran todas las permutaciones? Por otro lado ¿Cómo son las permutaciones que salen en las fotos de Tero? ¿Cómo las de las fotos de Héctor?

Ojalá eso sea suficiente. Aún deben el del avión y el 2 de mi primer post así que tienen mucho qué pensar en estas vacacioncitas.

Saludos y suerte ;).