1.- Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $$3\cdot 2^a+1=b^2$$.

2.- El número $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\cdots +\sqrt{1+\frac{1}{2005^2}+\frac{1}{2006^2}}$ es un número que se puede escribir como $\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ enteros primos relativos. Encuentra $p$ y $q$.

3.- Determina todos los enteros positivos $a<b<c<d$ tales que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ sea un entero.

4.- Dado un entero positivo $n$, sea $f(n)$ el promedio de todos sus divisores positivos. Demuestra que: $\sqrt{n}\leq f(n) \leq \frac{n+1}{2}$.

5.- Si $p$ y $q$ son primos y $x^2-px+q=0$ tiene distintas raíces enteras positivas, encuentra $p$ y $q$.

6.- Sean $a,b,c$ números reales tales que $a\neq b$ y $a^2(b+c)=b^2(a+c)=2011$. Determina el valor de $c^2(a+b)$.

7.- Prueba que si una progresión aritmética de enteros contiene un cuadrado perfecto, entonces contiene una infinidad de cuadrados perfectos.

8.- Encuentra una lista infinita de números enteros positivos $n$ tales que la suma de los dígitos de $n$ sea igual a la suma de dígitos de $3n+11$.

9.- Demuestra que si $n$ es la suma de dos cuadrados, entonces $2n$ también lo es.

10.- Demuestra que $5(x-y)(y-z)(z-x)$ divide a $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$

11.- Muestra que hay una infinidad de soluciones enteras positivas para $(x^2+x+1)(y^2+y+1)=z^2+z+1$

12.- Prueba que si $n=a^2+b^2+c^2$, entonces $\exist x,y,z$ tales que $n^2=x^2+y^2+z^2$.

13.- Muestra que existe una infinidad de soluciones enteras para $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$.

14.- Sean $a,b,c$ números positivos. Encuentra los valores de x tales que: $\sqrt{a+bx}+\sqrt{b+cx}+\sqrt{c+ax}=\sqrt{b-ax}+\sqrt{c-bx}+\sqrt{a-cx}$

15.- Encuentra el término general de la sucesión definida como $x_0=3, x_1=4$ y $\forall n\geq 1$ se tiene $x_{n+1}=x_{n-1}^2-nx_n$.

16.- Sean $a,b,c$ números reales tales que: $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$. Demuestra que $|abc|=1$.

17.- Encuentra todos los valores reales de $x$ tales que $\frac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\frac{7}{6}$.