TAREA VACACIONAL

Aquí les pongo otros problemas, espero y los resuelvan todos.


1) Demuestra que no existen soluciones enteras positivas para $$\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{1}{t}+\frac{1}{qr}$$ con $q,r$ primos.

2) Determina los enteros $n$ para los cuales $\sum_{i=1}^{n}i | \Pi_{i=1}^n i$.


3) Prueba que $n(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots +n^k)$ para toda $k$ impar.


4) Sean $a,b\in \mathbb{N}$ tales que $(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a})\in \mathbb{N}$. Sea $d=(a,b)$. Muestre que $d^2\leq a+b$.


5) Demuestra que $\forall n>1$, $n^4+4$ nunca es primo.



6) Prueba que no existe polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros tales que $f(7)=11$  y  $f(11)=13$.



7) Muestra que si $n$ es compuesto, entonces $2^n-1$ no es primo.


8) Muestra que si $n$ tiene algún divisor impar mayor a 1, entonces $2^n+1$ no es primo.


9) Encuentra todas las parejas de primos tales que $p^2-2q^2=1$


10) Muestra que si $p$ es primo y $p^2+2$ es primo, entonces $p^3+2$ es primo.


11) Encuentra las soluciones enteras de:
$$a)x^2+y^2=x^2y^2$$
$$b)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$$
$$c)x^2-3y^2=17$$
$$d)2xy+3y^2=24$$
$$e)x^2+xy+y^2=x^2y^2$$
$$f)x+y=x^2-xy+y^2$$



12) Sea $p=p_1p_2\dots p_n$ el producto de los primeros $n$ primos. Muestra que $p-1$ y $p+1$ no son cuadrados.


13) Muestra que todo número par puede ser escrito como $(x+y)^2+3x+y$, con $x$ y $y$ enteros no negativos



14) Muestra que si $m|(m-1)!+1$, entonces $m$ es primo.


15) Probar que $17|2n+3m\Leftrightarrow 17|9n+5m$


16) Encontrar todos los primos $p$ para los cuales $p^2+77$ tiene exactamente 5 divisores.



17) Muestra que no existen cuartetos de enteros positivos $(x,y,z,w)$ que satisfagan: $x^2+y^2=3(z^2+w^2)$


18) Muestra que si ninguno de los números $a, a+d, \dots , a+(n-1)d$ es divisible por n, entonces n y d son coprimos.



19) Demuestra que todo entero que no es múltiplo de 2 ni de 5, tiene un múltiplo con todos sus dígitos iguales a 1.

20) Sea $n \in \mathbb{N}$. Probar que la sucesión de Fibonacci tiene una infinidad de términos divisibles por $n$.

Cualquier cosa me pueden dejar un mensaje en el Facebook.