PROBLEMAS CLASE

Hola chavos, los siguientes problemas son los que tenía previstos para la clase, pero no alcanzamos a resolver:

1.- Pruebe que el número de cuatro dígitos $N=\overline{abcd}$ es divisible entre 3 $\Leftrightarrow$ $a-2b+c+4d$ es divisible entre 3.

2.- Sean $a$ y $b$ enteros tales que $a+5b$ y $5a-b$ son ambos múltiplos de 2002. Demuestre que $a^2+b^2$ también es múltiplo de 2002.

3.- Sea $p$ un número primo y sean $a,n \in \mathbb{N}$. Demuestra que si $2^p+3^p=a^n$, entonces $n=1$.

4.- ¿Es posible agrupar los números ${1,2,\dots ,100}$ en tres grupos, $A_1,A_2,A_3$, tales que $102$ divida a la suma de elementos de $A_1$; $203$ divida a la suma de elementos de $A_2$; y $304$ divida a la suma de elementos de $A_3$?

5.- Demuestra que si $(a,n)=1$ y $(b,n)=1$, $\exists t\in\mathbb{N}$ tal que $a^t\equiv b^t(mod n)$.

6.- Determina si existen enteros positivos  $a$  y  $b$  tales que $a^4+1$  y  $b^2+1$ no son divisbles entre $39$, pero  $(a^4+1)(b^2+1)$  es divisible entre $39$.