1.- Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $$3\cdot 2^a+1=b^2$$.

2.- El número $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\cdots +\sqrt{1+\frac{1}{2005^2}+\frac{1}{2006^2}}$ es un número que se puede escribir como $\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ enteros primos relativos. Encuentra $p$ y $q$.

3.- Determina todos los enteros positivos $a<b<c<d$ tales que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ sea un entero.

4.- Dado un entero positivo $n$, sea $f(n)$ el promedio de todos sus divisores positivos. Demuestra que: $\sqrt{n}\leq f(n) \leq \frac{n+1}{2}$.

5.- Si $p$ y $q$ son primos y $x^2-px+q=0$ tiene distintas raíces enteras positivas, encuentra $p$ y $q$.

6.- Sean $a,b,c$ números reales tales que $a\neq b$ y $a^2(b+c)=b^2(a+c)=2011$. Determina el valor de $c^2(a+b)$.

7.- Prueba que si una progresión aritmética de enteros contiene un cuadrado perfecto, entonces contiene una infinidad de cuadrados perfectos.

8.- Encuentra una lista infinita de números enteros positivos $n$ tales que la suma de los dígitos de $n$ sea igual a la suma de dígitos de $3n+11$.

9.- Demuestra que si $n$ es la suma de dos cuadrados, entonces $2n$ también lo es.

10.- Demuestra que $5(x-y)(y-z)(z-x)$ divide a $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$

11.- Muestra que hay una infinidad de soluciones enteras positivas para $(x^2+x+1)(y^2+y+1)=z^2+z+1$

12.- Prueba que si $n=a^2+b^2+c^2$, entonces $\exist x,y,z$ tales que $n^2=x^2+y^2+z^2$.

13.- Muestra que existe una infinidad de soluciones enteras para $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$.

14.- Sean $a,b,c$ números positivos. Encuentra los valores de x tales que: $\sqrt{a+bx}+\sqrt{b+cx}+\sqrt{c+ax}=\sqrt{b-ax}+\sqrt{c-bx}+\sqrt{a-cx}$

15.- Encuentra el término general de la sucesión definida como $x_0=3, x_1=4$ y $\forall n\geq 1$ se tiene $x_{n+1}=x_{n-1}^2-nx_n$.

16.- Sean $a,b,c$ números reales tales que: $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$. Demuestra que $|abc|=1$.

17.- Encuentra todos los valores reales de $x$ tales que $\frac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\frac{7}{6}$.

TAREA DESIGUALDADES

Aquí les van unos problemas para que practiquen desigualdades:

1) Sean $x,y,z \in \mathbb{R}^+$. Demuestra las siguientes desigualdades:

$$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$$

$$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$$

$$xy+yz+zx\geq x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}$$

$$x^2+y^2+1\geq xy+x+y$$

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}$$

$$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\geq x+y+z$$

$$x^2+y^2+z^2\geq x\sqrt{y^2+z^2}+y\sqrt{x^2+z^2}$$

$$x^4+y^4+8\geq 8xy$$

2) Sea $n$ un número natural. Sean $x_1, x_2, \dots , x_n \in \mathbb{R}^+$. Muestra que:

$$(x_1+x_2+\cdots +x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n})\geq n^2$$

3) Sea $n$ un número natural. Sean $x_1, x_2, \dots , x_n \in \mathbb{R}^+$ y $\{y_1,y_2,\dots ,y_n\}$ una permutación de las $x_{i's}$. Muestra que:

$$\frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}+\cdots +\frac{x_n}{y_n}\geq n$$

4) Sean $a,b,c>0$. Muestra que:

Si $(1+a)(1+b)(1+c)=8$ entonces $abc\leq 1$.

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca$

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)$

$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 9a^2b^2c^2$

TAREA VACACIONAL

Aquí les pongo otros problemas, espero y los resuelvan todos.


1) Demuestra que no existen soluciones enteras positivas para $$\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{1}{t}+\frac{1}{qr}$$ con $q,r$ primos.

2) Determina los enteros $n$ para los cuales $\sum_{i=1}^{n}i | \Pi_{i=1}^n i$.


3) Prueba que $n(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots +n^k)$ para toda $k$ impar.


4) Sean $a,b\in \mathbb{N}$ tales que $(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a})\in \mathbb{N}$. Sea $d=(a,b)$. Muestre que $d^2\leq a+b$.


5) Demuestra que $\forall n>1$, $n^4+4$ nunca es primo.



6) Prueba que no existe polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros tales que $f(7)=11$  y  $f(11)=13$.



7) Muestra que si $n$ es compuesto, entonces $2^n-1$ no es primo.


8) Muestra que si $n$ tiene algún divisor impar mayor a 1, entonces $2^n+1$ no es primo.


9) Encuentra todas las parejas de primos tales que $p^2-2q^2=1$


10) Muestra que si $p$ es primo y $p^2+2$ es primo, entonces $p^3+2$ es primo.


11) Encuentra las soluciones enteras de:
$$a)x^2+y^2=x^2y^2$$
$$b)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$$
$$c)x^2-3y^2=17$$
$$d)2xy+3y^2=24$$
$$e)x^2+xy+y^2=x^2y^2$$
$$f)x+y=x^2-xy+y^2$$



12) Sea $p=p_1p_2\dots p_n$ el producto de los primeros $n$ primos. Muestra que $p-1$ y $p+1$ no son cuadrados.


13) Muestra que todo número par puede ser escrito como $(x+y)^2+3x+y$, con $x$ y $y$ enteros no negativos



14) Muestra que si $m|(m-1)!+1$, entonces $m$ es primo.


15) Probar que $17|2n+3m\Leftrightarrow 17|9n+5m$


16) Encontrar todos los primos $p$ para los cuales $p^2+77$ tiene exactamente 5 divisores.



17) Muestra que no existen cuartetos de enteros positivos $(x,y,z,w)$ que satisfagan: $x^2+y^2=3(z^2+w^2)$


18) Muestra que si ninguno de los números $a, a+d, \dots , a+(n-1)d$ es divisible por n, entonces n y d son coprimos.



19) Demuestra que todo entero que no es múltiplo de 2 ni de 5, tiene un múltiplo con todos sus dígitos iguales a 1.

20) Sea $n \in \mathbb{N}$. Probar que la sucesión de Fibonacci tiene una infinidad de términos divisibles por $n$.

Cualquier cosa me pueden dejar un mensaje en el Facebook.

PROBLEMAS CLASE

Hola chavos, los siguientes problemas son los que tenía previstos para la clase, pero no alcanzamos a resolver:

1.- Pruebe que el número de cuatro dígitos $N=\overline{abcd}$ es divisible entre 3 $\Leftrightarrow$ $a-2b+c+4d$ es divisible entre 3.

2.- Sean $a$ y $b$ enteros tales que $a+5b$ y $5a-b$ son ambos múltiplos de 2002. Demuestre que $a^2+b^2$ también es múltiplo de 2002.

3.- Sea $p$ un número primo y sean $a,n \in \mathbb{N}$. Demuestra que si $2^p+3^p=a^n$, entonces $n=1$.

4.- ¿Es posible agrupar los números ${1,2,\dots ,100}$ en tres grupos, $A_1,A_2,A_3$, tales que $102$ divida a la suma de elementos de $A_1$; $203$ divida a la suma de elementos de $A_2$; y $304$ divida a la suma de elementos de $A_3$?

5.- Demuestra que si $(a,n)=1$ y $(b,n)=1$, $\exists t\in\mathbb{N}$ tal que $a^t\equiv b^t(mod n)$.

6.- Determina si existen enteros positivos  $a$  y  $b$  tales que $a^4+1$  y  $b^2+1$ no son divisbles entre $39$, pero  $(a^4+1)(b^2+1)$  es divisible entre $39$.

Hola chavos, ojalá y algunos revisen el blog... hasta ahora pude escribir porque mi computadora está descompuesta, pero aquí les dejo algunos problemas (no dejo la lista que les había dado porque está en mi computadora)...

1)Prueba que $\frac{21n+4}{14n+3}$ es irreducible para todo número natural n.

2)¿Para qué valores de x es:
$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A$
dados: a) A=$\sqrt{2}$; b) A=1; c) A=2, donde sólo los números reales no negativos son admitidos para la raíz cuadrada?

3)¿Qué valores reales de x satisfacen la desigualdad: $\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}\leq2$?

4)Si a y b son reales positivos distintos, ordena los siguientes números de menor a mayor:
$i)ab\hspace{0.2in}ii)a^{2}+b^{2}\hspace{0.2in}iii)(a+b)^{2}\hspace{0.2in}iv)a^{2}+b(a+b)\hspace{0.2in}v)\frac{a^{3}+b^{3}}{a+b}$

5)Los números x y y son distintos y satisfacen la igualdad: $x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}$. Determina el valor de xy.

6)Sean a,b,c reales positivos. Demoestrar que:
$\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{c+a}+\frac{ab}{a+b}\leq\frac{1}{2}(a+b+c)$

7)Demuestre que si n es un númerot entero positivo, entonces:
$\frac{n^{2}+n-1}{n^{2}+2n}$
es una fracción irreducible.

8)Sean $1=d_{1}<d_{2}<d_{3}<\cdots<d_{k}=n$ los divisores del entero positivo n. Encuentra todos los números n tales que $n=d_{2}^{2}+d_{3}^{3}$.

9)Sea x un número real que satisface la ecuación $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=p^{2}-2$, donde p es un número primo. Demuestra que para todo entero n, el valor de la expresión $x^{n}+\frac{1}{x^{n}}$ es un número entero y calcula su valor en función de p.

10)Determina todos los enteros positivos a y b tales que:
$\frac{b^{2}a}{a+b}$ sea un número primo.

Intenten resolver estos problemas, también los otros que ya les había dejado, ojalá hayan avanzado bastantes. Revisaremos en la clase.

URGENTE

Sepúlveda necesita algunos datos suyos (me refiero a los que pasaron a la sig. etapa). Manden a su correo asepulve@umich.com.mx los siguientes datos:
-CURP
-Tel. celular o privado (con lada)
-Teléfono pero de sus padres o tutor.
-Nombre y domicilio de este o estos.

Además, el 24 de octubre que vayan a entrenar, lleven los siguientes doctos.:
-Permiso de sus padres o tutor.
-Acta de nacimiento (original y reciente).
-Constancia de estudios (actual).

Y si de favor dejan de comentario los correos y celulares que se sepan de sus compañeros, lo agradeceré mucho, y si avisan pues mejor :P (en caso de que alguien no tenga acceso a internet o cosas así).

Saludos.

Problemas fácilones con geometría analítica.

Los teoremas que pondré a continuación salen con geometría analítica. Es importante que tengan nociones de esta geometría, aunque muchas veces se generen muchísimas cuentas. Ahora bien, aunque no desarrollen, podrían solo concluir un procedimiento con el que estén seguros que se demuestran los teoremas. Y no es que dude de su capacidad por lo faciles que están, los pongo para que practiquen.

1.- Demostrar:
a) concurrencia de medianas.
b) concurrencia de mediatrices.
c) concurrencia de alturas.

2.- Demostrar que los puntos medios de los lados de cualquier trapezoide o cuadrilátero raro ''cerrado'' son vértices de un paralelogramo.

3.- Demostrar el teorema de Ptolomeo:
Sea ABCD un cuadrilátero.
☐ABCD es cíclico ⇔ AB*CD+BC*DA=AC*BD (basta con ⇒).

4.- Dados 3 puntos... encontrar la ecuación de la circunferencia circunscrita.

Nota: Exijan un día de geometría analítica pre-exámen final, puede ser útil en un futuro.

Otros 3 de espíritu combinatorio.

Con el fin de que no se desacostumbren y aprovechando que desempolvé el librero les dejo un par de problemas bonitos. El tercero no es tan bonito, pero está bien para que practiquen y para de paso aprovechar el editor de LaTeX que encontré.

1. Sea S un conjunto de n puntos en el plano. Sea M el conjunto de puntos medios de parejas de elementos de S. Probar que M tiene al menos 2n - 3 elementos.
2. Un conjunto de personas es tal que cada uno tiene al menos un amigo dentro del conjunto y si dos personas del conjunto tienen el mismo número de amigos (dentro del conjunto), entonces esas dos personas no tienen amigos en común (dentro del conjunto). Probar que hay una persona que tiene exactamente un amigo dentro del conjunto.}
3. Probar (de preferencia de una forma bonita) las siguientes identidades:

Bueno, ojalá les salgan. Me da gusto que al menos algunos de ustedes ya los están intentando y estoy tan de buen humor que hasta les voy a dar sugerencia para el 3 de la vez pasada:

Sugerencia: Es claro que todas las fotos muestran permutaciones de las tapas, pero ¿Será cierto que muestran todas las permutaciones? Por otro lado ¿Cómo son las permutaciones que salen en las fotos de Tero? ¿Cómo las de las fotos de Héctor?

Ojalá eso sea suficiente. Aún deben el del avión y el 2 de mi primer post así que tienen mucho qué pensar en estas vacacioncitas.

Saludos y suerte ;).

3 más de combinatoria

Dicen que andan bien en combinatoria, a ver si es cierto. Van 3 problemas que deberían poder resolver:

1. ¿De cuántas formas pueden 2n olímpicos acomodarse en parejas a trabajar?
2. Los olímpicos van a Molto a comer pizza y la mesera les dice que pueden pedir pizza con 5 ingredientes (se vale repetir) de la lista de 15 ingredientes que hay en el menú ¿De cuántas formas distintas pueden pedir su pizza si no importa el orden de los ingredientes?.
3. A Tero y a Héctor les gusta tomar fotos, un día que no tienen mucho qué hacer inventan un juego. Toman n fichas de sus n tipos de cervezas favoritas (todas distintas) y las acomodan en fila. El juego consiste en lo siguiente: en cada turno uno de los jugadores toma dos fichas, intercambia sus posiciones y toma una foto. Los dos cuates juegan por un buen rato hasta que se toman todas las fotos posibles. Gana el que tenga más fotos distintas. Si Héctor empieza, ¿Quién gana? ¿Puedes decir cuántas fotos distintas tiene cada jugador?

Bueno, a ver cómo les va con esos 3 (¿Alguien tiene el 2 de los que publiqué la vez pasada? )

Saludos.

Otro de geometría...

Me contaron que andan 'bien' en combinatoria y como no tengo problemas difíciles de teoría de números (o no los recuerdo) subiré de geometría.

Problema:
Sean A, Q y B tres puntos alineados (A-Q-B).
1.-*Encontrar un punto P tal que PQ sea bisectriz de ∠APB. Dar una justificación de la construcción.
2.-***¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos P? Dar una demostración.
3.-**¿Pasa esa recta, segmento, curva o cosa rara por Q? (Es corolario del 2, pero puede salir sin usarlo).
4.-*Si Q es punto medio de AB, ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos P? (Caso 'extremo')

De nuevo:
*Trivial-Facil.
**Medio.
***Complicado.