Problemas fácilones con geometría analítica.

Los teoremas que pondré a continuación salen con geometría analítica. Es importante que tengan nociones de esta geometría, aunque muchas veces se generen muchísimas cuentas. Ahora bien, aunque no desarrollen, podrían solo concluir un procedimiento con el que estén seguros que se demuestran los teoremas. Y no es que dude de su capacidad por lo faciles que están, los pongo para que practiquen.

1.- Demostrar:
a) concurrencia de medianas.
b) concurrencia de mediatrices.
c) concurrencia de alturas.

2.- Demostrar que los puntos medios de los lados de cualquier trapezoide o cuadrilátero raro ''cerrado'' son vértices de un paralelogramo.

3.- Demostrar el teorema de Ptolomeo:
Sea ABCD un cuadrilátero.
☐ABCD es cíclico ⇔ AB*CD+BC*DA=AC*BD (basta con ⇒).

4.- Dados 3 puntos... encontrar la ecuación de la circunferencia circunscrita.

Nota: Exijan un día de geometría analítica pre-exámen final, puede ser útil en un futuro.

Otros 3 de espíritu combinatorio.

Con el fin de que no se desacostumbren y aprovechando que desempolvé el librero les dejo un par de problemas bonitos. El tercero no es tan bonito, pero está bien para que practiquen y para de paso aprovechar el editor de LaTeX que encontré.

1. Sea S un conjunto de n puntos en el plano. Sea M el conjunto de puntos medios de parejas de elementos de S. Probar que M tiene al menos 2n - 3 elementos.
2. Un conjunto de personas es tal que cada uno tiene al menos un amigo dentro del conjunto y si dos personas del conjunto tienen el mismo número de amigos (dentro del conjunto), entonces esas dos personas no tienen amigos en común (dentro del conjunto). Probar que hay una persona que tiene exactamente un amigo dentro del conjunto.}
3. Probar (de preferencia de una forma bonita) las siguientes identidades:

Bueno, ojalá les salgan. Me da gusto que al menos algunos de ustedes ya los están intentando y estoy tan de buen humor que hasta les voy a dar sugerencia para el 3 de la vez pasada:

Sugerencia: Es claro que todas las fotos muestran permutaciones de las tapas, pero ¿Será cierto que muestran todas las permutaciones? Por otro lado ¿Cómo son las permutaciones que salen en las fotos de Tero? ¿Cómo las de las fotos de Héctor?

Ojalá eso sea suficiente. Aún deben el del avión y el 2 de mi primer post así que tienen mucho qué pensar en estas vacacioncitas.

Saludos y suerte ;).

3 más de combinatoria

Dicen que andan bien en combinatoria, a ver si es cierto. Van 3 problemas que deberían poder resolver:

1. ¿De cuántas formas pueden 2n olímpicos acomodarse en parejas a trabajar?
2. Los olímpicos van a Molto a comer pizza y la mesera les dice que pueden pedir pizza con 5 ingredientes (se vale repetir) de la lista de 15 ingredientes que hay en el menú ¿De cuántas formas distintas pueden pedir su pizza si no importa el orden de los ingredientes?.
3. A Tero y a Héctor les gusta tomar fotos, un día que no tienen mucho qué hacer inventan un juego. Toman n fichas de sus n tipos de cervezas favoritas (todas distintas) y las acomodan en fila. El juego consiste en lo siguiente: en cada turno uno de los jugadores toma dos fichas, intercambia sus posiciones y toma una foto. Los dos cuates juegan por un buen rato hasta que se toman todas las fotos posibles. Gana el que tenga más fotos distintas. Si Héctor empieza, ¿Quién gana? ¿Puedes decir cuántas fotos distintas tiene cada jugador?

Bueno, a ver cómo les va con esos 3 (¿Alguien tiene el 2 de los que publiqué la vez pasada? )

Saludos.

Otro de geometría...

Me contaron que andan 'bien' en combinatoria y como no tengo problemas difíciles de teoría de números (o no los recuerdo) subiré de geometría.

Problema:
Sean A, Q y B tres puntos alineados (A-Q-B).
1.-*Encontrar un punto P tal que PQ sea bisectriz de ∠APB. Dar una justificación de la construcción.
2.-***¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos P? Dar una demostración.
3.-**¿Pasa esa recta, segmento, curva o cosa rara por Q? (Es corolario del 2, pero puede salir sin usarlo).
4.-*Si Q es punto medio de AB, ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos P? (Caso 'extremo')

De nuevo:
*Trivial-Facil.
**Medio.
***Complicado.

Más problemas vacacionales...

*Sean A, B, C y D cuatro puntos en el espacio, de tal manera que la distancia entre cada par es una constante k. Sean M y N puntos medios de AB y AC, respectivamente; y L∊AD. Por demostrar que el △LMN es isósceles.

*Demostrar que, en cualquier triángulo, el producto de los dos segmentos en que es dividida una altura por el ortocentro, es el mismo para las otras 2 alturas.

**Tenemos un △ABC, sea H su ortocentro y L, M y N los pies de las alturas en BC, CA y AB respectivamente. Demostrar que H es incentro del △LMN.

**a) Probar que podemos inscribir una circunferencia tangente a los lados de un cuadrilátero convexo (un cuadrilátero es convexo si para cualesquiera 2 puntos dentro de su área, el segmento que los une también está dentro) ⇔ la suma de dos lados opuestos del cuadrilátero es la misma a la suma de los otros 2 lados.
***b) Probar que las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares.

*Trivial
**Medio
***Algo dificil.

¿De vacaciones?

Tercias pitagóricas: Elaboren un procedimiento para generar tercias de números naturales a, b, c; de tal manera que a²+b²=c² y que (a,b,c)=1

H es el ortocentro del △ABC. La altura por A corta a BC en D y al circuncírculo en K. Por demostrar que HD=DK.

En una fiesta hay n invitados, de tal manera que cualquier invitado puede tener o no amigos en la fiesta. Demostrar que al menos 2 invitados tienen el mismo número de amigos en la fiesta.

Problemas

Bueno van tres problemas pa que se diviertan:

Tero no sabe cuántos olímpicos había cuando él era olímpico, pero sabe que, sin contarlo a él había 924 formas de dividirlos en dos equipos del mismo tamaño. ¿Puedes decirle a Tero cuántos compañeros tenía?

En un estanque hay muchas piedras acomodadas (en fila y en orden) de tal forma que cada una tiene un número entero pintado en ella. Si una rana se para en alguna de las piedras, de un solo salto puede brincar solamente a alguna de las piedras consecutivas (a la derecha o a la izquierda). Ana la rana está parada en la piedra marcada con el 0 ¿De cuántas formas puede llegar a la piedra marcada con el número n en exactamente k saltos?

Si tenemos n rectas en el plano en posición general (no 3 concurrentes y no dos paralelas) ¿En cuántas regiones se divide al plano?

Saludos.

PROBLEMA 06/JUN/2011

Sean A, B, C los vértices de un triángulo. Sean P y Q los puntos tal que ABP y ACQ son triángulos equiláteros y están construidos al exterior del triángulo ABC. Mostrar que los triángulos PAC y BAQ son congruentes.

HOLA CHAVOS

Hola. A todos los chavos que pasaron a la etapa final de Michoacán de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, muchas felicidades, es un honor poder contar siempre con personas como ustedes que den su esfuerzo por conseguir sus metas, y los invito a que sigan adelante, sólo ustedes pueden decidir hasta donde llegar. Enhorabuena!

Por otro lado, aprovecho para decirles ¡BIEVENIDOS AL BLOG! Éste es el primer año que se cuenta con éste medio de trabajo para la Olimpiada en Michoacán, me gustaría que lo aprovecharan, ya que al final de cuentas, será en su beneficio el que se preparen, para que puedan formar parte de la Selección Estatal. Constántemente vamos a estar subiendo problemas para que trabajen, y nos gustaría que comentaran sus soluciones. A dar el FUA chavos, nuevamente felicidades, y mucha suerte.

Los que ya tengan su g-mail activado y ya estén enterados del blog, pongan un comentario en este post, que almenos diga su nombre, para saber de quien es cada cuenta. Saludos

Aquí dejo un problemita:
Para una sucesión a1, a2, a3, ... , an-1, an; si tenemos que ai+1-ai=r (para 1≤i≤n-1); entonces a1+a2 +a3+...+an-1+an=(a1 + an)n / 2.
Sugerencia: ¡Inducción!

¡Estudien, están de vacaciones!
Suerte.